USBケーブルを接続すると、10秒ほどUSB接続モードになった後に充電が開始されると思うのですが、いつからか電池マークが減った状態にもかかわらず100% CHARGEDが表示されたままになってしまいます。（点滅せず、表示されたまま）

その状態で一晩置いておいたのですが、電源を入れると電池は減った状態のままでした。

USB充電アダプタでもPCでも同様の状況です。そのケーブルを使ってアップデートツールで接続すると、正しくバージョンが取得できる(ハードウェアバージョン2, ファームウェア1.2.4)のでケーブルの問題はなさそうです。

また、PC接続中に電源を入れると電池マークの上にFULLの表示となりました。ケーブルを抜くと6割程度の電池マークになります。そろそろちゃんと充電してあげたいのですが、どうしたらよいでしょうか？